让数学抽象思维在课堂教学中生成
【摘要】
数学核心素养培养是目前国内外数学教育界十分关注的重大问题。数学课程标准修订组对数学核心素养给出了界定：数学核心素养是具有数学基本特征、适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格与关键能力，是数学课程目标的集中体现。数学核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析六个方面。
在六个数学核心素养之中，“数学抽象”居于首位。
【关键词】数学、抽象思维、课堂教学
【前言】
在我国《义务教育数学课程标准》（2011年版）中指出：数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会中的每一个公民应该具备的基本素养，数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志。数学核心素养的内涵高于传统数学教学的基础知识和基本技能，关注到了学生的情感、态度、价值观。
数学是从客观现象中剥离其它一切特征与属性，只抽象出空间形式和数量关系的一门科学。它具有严密的逻辑性，广泛的运用性，知识的连续性，高度的抽象性等特性。现代数学仿如一个由一系列抽象的概念、命题、公式、方法等建构而成的多维立体网络。从数、数量、符号到集合、函数等；从点、线、面二维平面等到三维空间立体图形……在这多维的数学网络空间里，数学的抽象性犹如螺旋上升的阶梯，一步高于一步。这使得学生从低年级进入高年级后普遍感到数学“越来越难理解”、”越来越难学”。因此，在数学教学中培养学生的数学抽象能力是排除学生理解障碍，突破教学难点，提高教学质量的关键。
一、数学抽象的概述
什么是“抽象”？什么是“数学抽象”？缕清这两个概念是数学抽象教学的必要条件。
抽象是从许多事物中舍弃个别的、非本质属性，得到共同的、本质属性的思维过程，是形成概念的必要手段[1]。数学抽象是对现实世界具有数量关系和空间形式的真实材料进行加工、提炼出共同的本质属性，用数学语言表达进而形成数学理论的过程[2]。
数学抽象的内容在本质上只有两种：一个是数量与数量关系的抽象；一个是图形与图形关系的抽象[3]。主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系；从事物的客观环境、属性、特征等方面抽象出一般规律和结构，并用数学符号或者数学术语以公式、命题、方法、思想、系统等形式予以表征。
数学抽象分为两个层次，一个是直观描述，另一个是符号表达。可见数学抽象的步骤是具有不同的阶段性。数学抽象步骤可分为三个基本阶段：简约阶段、符号阶段、普适阶段。简约阶段是指把握事物的本质，把繁杂问题简单化、条理化，并能够清晰地表达。符号阶段表示去掉具体的内容，利用概念、图形、符号、关系表述包括已经简约化了的事物在内的一类事物。普适阶段，即通过假设和推理建立法则、模型，并能够在一般的意义上解释具体事物。
二、数学抽象能力的培养
列宁说过：“认识是人对自然界的反映，但是这并不是简单的、直接的、完全的反映，而是一系列的抽象过程，即概念、规律等的构成、形成过程。”培养学生的数学抽象素养有助于知识的正确迁移，有助于发现蕴含于问题中的数学模型，有助于知识学习过程和问题解决过程的顺利进行。
（一）从生活进入抽象的数学世界
德国哲学家康德认为“人类的一切知识都是从直观开始，从那里进入到概念，而以理念结束”。小学儿童思维的基本特点是以具体形象思维为主要形式逐步过渡到以抽象逻辑思维形式为主的形式。但这种抽象逻辑思维在很大程度上仍然是直接与感性经验相联系的，仍然具有很大成分的具体形象性。学生抽象能力的培养，以具体形象思维为初始，然后慢慢过渡到抽象思维。因此数学课程的内容一定要贴近学生熟悉的现实生活，使生活和数学融为一体，使学生能从熟悉的现实生活中自然进入到抽象的数学世界里。
1.直接转接
教学“认识自然数”时，创设学生熟悉的生日派对情境既激发学生的学习兴趣，又为学生从生活实物中抽象出自然数作好铺垫。
课堂上，学生先认真观察情境图，然后与同桌讨论派对上有哪些，各有多少，并用简单的方法记录好相应的数量。讨论过后，要求学生代表按从小到大的顺序说出所发现的人和物的数量，如“1个蛋糕”、“1台电视”。此时学生的思维处于对自然数“1”抽象的简约阶段。这一阶段里学生需要经过观察、讨论，联系已有的生活经验在脑海里初步感知“1个”、“1台”。
为了引导学生顺利进入抽象的符号阶段，教师抓住抽象时机提问“你是怎样记录的？”。以问促学，引导学生从“1个蛋糕”、“ 1台电视”中抽象出 “1”。教师在相应处贴上数字“1”，并说明“1个蛋糕”、“ 1台电视”可以用 “1”来表示。此处教师虽没有刻意说明、强调符号思想，但经过一系列的活动后“符号思想”已经渗入到学生的意识里了。
单一的实物素材不足以引导学生完成抽象的普适阶段。因此，教师“火上浇油”，进一步追问：“还有哪些东西的数量可以用‘1’来表示？”一石激起千层浪，孩子们把“1个蛋糕”、“ 1台电视”的学习经验迁移到“1个挂钟”、“1碗面”、“1幅画”……这一思维活动使学生体会到抽象出来的“1”具有普适性、迁移性，也为他们接下来认识自然数2~5的自主学习活动奠定了基础。
2.对比总结
学生对自然数1~5有一定的认识后就可以开始探究自然数的大小顺序。教师在计数器上拨了一颗珠，问：“教师拨了几颗珠子？应当用什么数表示？”学生回答后，教师在黑板上贴上一颗珠子，并在其下方写上“
好的教学并不是“满堂灌”，而是需要给学生留有足够的独立思考的空间，把外在的东西内化为自己的知识经验。为了让学生从整体上抽象出自然数的大小关系及基于大小关系的数的顺序排列，教师让学生观察板书(如右图)上的珠子数量及对应的自然数，并独立思考“1的后面是几？”“5的前面是几？”“3在几的前面又在几的后面？”“在3的后面5的前面的数字是几？”。经过一系列的“观察、对比、思考、讨论、再思考”的活动后，学生逐渐意识到数量是一个一个多起来，数是一个一个大起来的；感悟到数量和数的意义；抽象出数量的多少关系和数的大小关系。
（二）在数学概念形成的过程中领悟数学抽象的实质与方法
如果说生活是数学抽象的本源与载体；那么从生活中提炼数学概念是最基本的数学抽象形式，也是数学抽象的起点。
数学概念是现实世界中空间形式和数量关系及其本质属性在思维中的反映，是科学抽象的结果。数学概念是比较抽象和形式化的。其教学的目的不仅是使学生掌握各种各样的概念，更重要的是引导学生自主领悟数学抽象的实质，学会数学抽象的方法。
如上图所示，在数学概念教学的过程中，先让学生在熟悉的实例中感知数学概念；然后引导学生通过观察、分析、类比等操作，抽象概括出共同的本质属性；最后引导学生学会用语言或数学符号以定义形式归纳总结概念。让学生在新概念形成的学习过程中经历抽象能力的培养过程，探索、归纳、熟悉、灵活运用数学抽象的基本步骤。其教学步骤常用于数学概念教学中，如“初步认识分数”：
1.感知——通过平均分感知分数
学生先把4张长方形纸，2张正方形纸，1张圆形纸平均分给同桌两个同学；然后求出每位同学分得不同形状的纸分别是多少张，并思考为什么？对于前面两个问题，学生很快就可以列出除法算式并得出结果；但对于“分到多少张圆形纸”的问题，部分学生面对“1÷2=（ ）张”可能会不知所措，部分学生可能会结合生活经验说出“每人分得半张圆形纸片”。这时教师需要引导学生讨论：能不能用学过的数来表示半张？通过讨论，学生可能会猜测到“二分之一”。这时可以引入“人们规定‘半’张可以表示为‘二分之一’张，可以写为”。 为了启发学生思考，可以让学生思考并说说“生活中还有哪些事情可以用表示的”。学生可能会说“黑板的一半”、“叶子的一半”，……学生都认为“某样物品的一半”可以用表示。
2.观察思考——数形结合理解的意义
教师课堂演示图片“月饼的一半”、“一袋糖果的一半”、“蛋糕的一半”。首先让学生列式“1÷2=”。然后观察每一幅图与算式，思考每幅图中的的意义分别是什么。通过数形结合的教学方法，引导学生在观察思考中逐渐领悟“”的意义就是把某一物体或某些物体平均分成2份，表示这样的1份。
课件演示一幅长方形的图，引导学生结合上面的学习经验说出涂色部分把一个长方形平均分成3份，表示这样的一份。为了让学生进一步理解，尝试让学生在这个长方形图上找出另外的部分。教师指着长方形两个空白部分问：“这里有几个？”学生回答后引导学生思考“2个可以用一个什么数来表示？”这里教师不能着急直接给出答案，要给学生留有足够的独立思考空间，让学生结合已有的知识与经验尝试得出答案。
利用类似的教学方法，引导学生感悟、、的意义。
3.归纳总结——概念共性抽象分数的概念
学生举例说明生活中等分的例子，并用分数表示；教师则整理并板书学生的回答。学生观察分数意义，通过思考、讨论来共同归纳出这些分数意义的共性，从而抽象出分数的概念：一个物体或一些物体平均分成m份，把其中的n份表示为，读作“m分之n”。对于分母能否是0是下一阶段的学习。但为了后续学习铺垫，教学时可结合具体情况可组织学生进行探讨活动。
（三）由特殊到一般培养数学抽象概括能力
抽象概括能力是从个别特殊实例中提取出共性，归纳出一般原理或规律的思维能力。
特殊化通常是指一组集合中的一个较小的子集或一个对象。通俗地说，特殊化就是指一般规律、命题中的特殊例子。而一般化是由一些特殊例子中抽象出的共性。波利亚认为“一般化就是考虑从一个对象过渡到考虑包含该对象的一个集合，或者从考虑一个较小的集合过渡到考虑一个包括该较小集合的更大集合”。
梅林指出：相对特殊化而言，一般化是困难的。而相对“一般化”而言，人们对特殊事物更易于接受、理解。可见要突破教学“一般化”的困难，就需要从“特殊化”着手过渡到“一般化”。由“特殊到一般”的认知过程是学生建构、理解数学概念、定理、公式等知识的不可或缺的思维过程。因此，教师需要引导学生在特殊条件下进行分析、抽取特殊实例的共性；再从共性中抽象出“一般化”；最后把“一般化”推广应用于相同属性的对象。
在教学的过程中，如果教师直接给出一般定义，然后用特殊例子加以训练，留给学生的就只有单调的知识与方法。但是从概念的形成过程入手，通过问题引导，让学生自主探究。这样留给学生的除了知识和方法，还会多点什么呢？让我们从“圆的周长计算”的教学来看看：
此课是在学生对“周长”及“圆的周长”有一定的认识后进行的。上课伊始，教师出示圆让学生观察并回忆圆、圆的圆心、半径、直径、周长的概念。
问题1：“圆的周长与什么有关？”。此一问触发了学生的探究兴趣。学生需要通过独立观察、触摸、比划特殊材料——5个大小不同的圆，利用已有的知识猜想出圆的周长可能与圆的直径有关系。
问题2：“我们如何来研究圆的周长与直径的关系？”学生想要知“圆的周长与直径的关系”就必须先设计出测量圆的周长及直径的方案。通过讨论交流，学生得出：通过在平直的尺子上滚动圆，或测量绕圆一周的绳子长度等方法测量出圆的周长；对折圆找出圆的直径并测量其长度……学生通过小组合作测量出圆的周长及直径并记录。通过动手操作，学生初步获取特殊材料的周长及直径的长度数据。
问题3：“圆的周长与直径有怎样的关系？”教师先让学生独立计算出每一个圆的周长与直径的比值，独立思考、分析每个圆的周长、直径、比值三个数据的关系。通过特殊数据的对比，学生不难发现圆的周长与直径的比值都是约等于3，圆的周长是圆的直径的3倍多一些。
问题4：“圆的周长与直径的比值都是约等于3吗？”教师让学生随意剪出两个不同的圆，并像上面一样求出圆的周长与直径的比值。通过交流，学生从足够多的特殊数据中提取出共性—— ≈3.14，从而抽象出圆的周长与直径的一般关系，归纳得出圆周率的概念。
问题5：“圆周率有什么作用？”学生依据比与比值的关系的学习经验，运用迁移的方法猜测出圆的周长与直径的比值一定，只要测量出圆的直径就可以求出圆的周长，即“圆的周长=圆周率×直径”。但这只是学生的猜想，还需要回归到特殊数据中验证。教师可引导学生用上面给出的特殊材料（圆的直径数据）代入到“圆的周长=圆周率×直径”中去验证该公式的真实性。通过猜想、验证，学生进一步理解圆周率及圆的周长的一般计算公式，达到了灵活运用的效果。运用这个教学方法也可引导学生探究“圆的直径= ”的一般化公式。
从个别到特殊的事物的共性，从特殊事物中抽象出同类事物的一般性，再把一般性回归、应用到解决特殊问题的过程。数学知识从特殊到一般的形成过程是复杂的概括、抽象过程。这种抽象能力培养方法将贯穿整个小学数学的教学之中。长期渗透从特殊到一般的方法不但培养了学生的数学抽象能力，也有助于学生养成自学学习、数学式思考问题的习惯。
学生的数学抽象能力不是一蹴而就的，而需要一朝一夕、一点一滴的培养。学生对包括抽象思想在内的任何一种数学思想的认识都是在反复体会与领悟中得以形成的，它要经历从特殊到一般，从低级到高级，从感性认识到理性认识，从直观理解到抽象概括的过程。相信坚持数学核心素养的教学，“学校所培养的学生毕业后，不管他们从事什么工作，唯有深深铭刻于头脑中的数学精神、数学思维方法、研究方法、推理方法才会随时随地发生作用，使他们受益终身”（日本著名数学教育家米山国藏）。
【参考文献】
[1] 史宁中.数学的抽象.东北师大学报（哲学社会科学版）2008（5）
[2]史宁中.《数学基本思想18讲》P2.北京师范大学出版社,2016.10(2017.6重印)。
[3]王永春.《小学数学与数学思想方法》P13.华东师范大学出版社，2014.7。
公安备案44060502000267